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== Basics & Outlook @Vorlesung[Foliensatz 1]
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- Größtenteils Wiederholung von Analysis
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=== Konvergenz von Folgen
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#v(2em)
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#figure([
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+ Ist die Folge von einem bestimmten Typen?
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- Harmonische Reihe ($1/n$)
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- Alternierende Reihe ($(-1)^n$)
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+ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch
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quadratische Ergänzung)
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+ Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$)
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+ Gibt es einen Maximalwert?
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+ Ist sie monoton: ($a_(n+1)/a_n <= 1 "oder" >= 1$)
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], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Folgen") <alg:folge>
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==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 11]
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#quote()[
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Does the sequence $a_n; n in NN$
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$ a_n = ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) $
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converge? If it converges, what is the limit?
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]
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$
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a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
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=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
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&= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
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&= 3 / 2 checkmark
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$
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==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 13]
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#quote()[
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Does the sequence $a_n; n in NN$
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$ a_n = sqrt(n^2+n)-n $
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converge? If it converges, what is the limit?
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]
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$
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a_n &= sqrt(n^2+n)-n \
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=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
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&= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
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&> lim_(n -> infinity) sqrt(n^2)-n = 0 \
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lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
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&= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \
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&= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \
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&= lim_(n -> infinity) (n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n) \
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&= lim_(n -> infinity) (n)/(sqrt(n^2+n)+n) |:n\
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&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/n +1)\
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&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/sqrt(n^2) +1)\
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&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt((n^2+n)/n^2) +1)\
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&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(1+1/n) +1) = 1/2 checkmark
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$
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==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 15]
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#quote()[
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Does the sequence $a_n; n in NN$
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$ a_n = n!/n^n $
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converge? If it converges, what is the limit?
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]
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$
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a_n &= n!/n^n \
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=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \
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&= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \
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=> n! &<= n^(n-1) \
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=> a_n &<= n^(n-1)/n^n = 1/n --> 0 \
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=> lim_(n -> infinity) a_n &= 0
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$
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=== Konvergenz von Reihen
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#v(2em)
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#figure([
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+ Addiert die Reihe eine Nullfolge?
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+ Ist die Reihe von einem bestimmten Typen?
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- Geometrische Reihe
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- Teleskop-Reihe
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+ Addiert die Reihe eine alternierende Folge?
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+ Ratio test (Besonders bei $x!$ und $x^n$)
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+ Root test (Besonders bei $x^n$)
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], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Reihen") <alg:reihe>
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==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 22]
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#quote()[
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Does the series
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$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2n-1)/(3n-1) $
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converge?
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]
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$
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lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \
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=> "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark
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$
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#pagebreak()
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==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 26]
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#quote()[
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Does the series
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$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) $
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converge?
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]
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$
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S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \
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&= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \
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&= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \
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&=> S " ist eine geometrische Reihe!" \
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S &= 2 dot 1/(1- 1/3) = 2 dot 1/(2/3) = 2 dot 3/2 = 3 checkmark
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$
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==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 29]
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#quote()[
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Does the series
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$ S = sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) $
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converge?
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]
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$
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S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \
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b_n &= (1)/(n(n+1)) \
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&= (1+(n-n))/(n(n+1)) \
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&= ((1+n)-n)/(n(n+1)) \
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&= ((n+1))/(n(n+1)) - (n)/(n(n+1)) \
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&= (1)/(n) - (1)/(n+1) \
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"mit " a_n = 1/n &: b_n = a_n - a_(n+1) => "Wir können das Teleskopkriterium anwenden" \
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(S &= a_0 = 1/1 = 1 checkmark) \
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S &= a_1 = 1/1 = 1 checkmark \
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Diese Partialbruchzerlegung hätte ich nicht ohne
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@MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund
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ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste
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z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$
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und wird nicht direkt eingesetzt.
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Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$.
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#pagebreak()
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==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 32]
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#quote()[
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Does the series
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$ S = sum^(infinity)_(n=0) (n)/(2^n) $
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converge?
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]
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$
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lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \
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&= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \
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&= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \
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&= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot 1/2 \
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&= lim_(n->infinity) abs((n)/n) dot 1/2 \
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&= 1/2 checkmark
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$
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==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 35]
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#quote()[
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Does the series
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$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2^n)/((n+1)^n) $
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converge?
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]
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$
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&lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
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= &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
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= &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
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$
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#pagebreak()
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=== Funktionen
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$ f: D --> W\ v |-> w = f(w) $
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$ f^: D --> W\ v |-> w = f(w) $
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==== Accumulation Point
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#quote()[
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A value $a$ is called accumulation point of $D$ if there is a (non-constant)
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sequence $a_n$ in $D$ which converges to $a$.
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] @Vorlesung[1, P. 40]
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- Ist dann nicht jeder Punkt (in Mengen mit mehr als einem Element) ein
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Sammelpunkt? Folgen können doch belibig definiert werden?
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