== Basics & Outlook @Vorlesung[Foliensatz 1]

- Größtenteils Wiederholung von Analysis

=== Konvergenz von Folgen

#v(2em)

#figure([
+ Ist die Folge von einem bestimmten Typen?
  - Harmonische Reihe ($1/n$)
  - Alternierende Reihe ($(-1)^n$)
+ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch 
  quadratische Ergänzung)
+ Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$)
+ Gibt es einen Maximalwert?
+ Ist sie monoton: ($a_(n+1)/a_n <= 1 "oder" >= 1$)
], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Folgen") <alg:folge>

==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 11]

#quote()[
  Does the sequence $a_n; n in NN$

  $ a_n = ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) $

  converge? If it converges, what is the limit?
]

$ 
  a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
  &= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
  &= 3 / 2 checkmark
$

==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 13]

#quote()[
  Does the sequence $a_n; n in NN$

  $ a_n = sqrt(n^2+n)-n $

  converge? If it converges, what is the limit?
]

$ 
  a_n &= sqrt(n^2+n)-n \
  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
  &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
  &> lim_(n -> infinity) sqrt(n^2)-n = 0 \
  lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
  &= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \
  &= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \
  &= lim_(n -> infinity) (n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n) \
  &= lim_(n -> infinity) (n)/(sqrt(n^2+n)+n) |:n\
  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/n +1)\
  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/sqrt(n^2) +1)\
  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt((n^2+n)/n^2) +1)\
  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(1+1/n) +1) = 1/2 checkmark
$

==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 15]

#quote()[
  Does the sequence $a_n; n in NN$

  $ a_n = n!/n^n $

  converge? If it converges, what is the limit?
]

$ 
  a_n &= n!/n^n \
  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \
  &= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \
  => n! &<=  n^(n-1) \
  => a_n &<= n^(n-1)/n^n = 1/n --> 0 \
  => lim_(n -> infinity) a_n &= 0
$

=== Konvergenz von Reihen

#v(2em)

#figure([
+ Addiert die Reihe eine Nullfolge?
+ Ist die Reihe von einem bestimmten Typen?
  - Geometrische Reihe
  - Teleskop-Reihe
+ Addiert die Reihe eine alternierende Folge?
+ Ratio test (Besonders bei $x!$ und $x^n$)
+ Root test (Besonders bei $x^n$)
], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Reihen") <alg:reihe>

==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 22]

#quote()[
  Does the series

  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2n-1)/(3n-1) $

  converge?
]

$ 
  lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \
  => "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark
$

#pagebreak()

==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 26]

#quote()[
  Does the series

  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) $

  converge?
]

$ 
  S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \
  &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \
  &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \
  &=> S " ist eine geometrische Reihe!" \
  S &= 2 dot 1/(1- 1/3) = 2 dot 1/(2/3) = 2 dot 3/2 = 3 checkmark
$

==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 29]

#quote()[
  Does the series

  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) $

  converge?
]

$ 
  S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \
  b_n &= (1)/(n(n+1)) \
  &= (1+(n-n))/(n(n+1)) \
  &= ((1+n)-n)/(n(n+1)) \
  &= ((n+1))/(n(n+1)) - (n)/(n(n+1)) \
  &= (1)/(n) - (1)/(n+1) \
  "mit " a_n = 1/n &: b_n = a_n - a_(n+1) => "Wir können das Teleskopkriterium anwenden" \
  (S &= a_0 = 1/1 = 1 checkmark) \
  S &= a_1 = 1/1 = 1 checkmark \
$

Diese Partialbruchzerlegung hätte ich nicht ohne
@MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund
ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste
z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$
und wird nicht direkt eingesetzt. 

Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$.

#pagebreak()

==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 32]

#quote()[
  Does the series

  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (n)/(2^n) $

  converge?
]

$ 
  lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \
  &= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \
  &= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \
  &= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot 1/2 \
  &= lim_(n->infinity) abs((n)/n) dot 1/2 \
  &= 1/2 checkmark
$

==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 35]

#quote()[
  Does the series

  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2^n)/((n+1)^n) $

  converge?
]

$ 
  &lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
  = &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
  = &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
$

#pagebreak()

=== Funktionen

$ f: D --> W\ v |-> w = f(w) $

$ f^: D --> W\ v |-> w = f(w) $

==== Accumulation Point

#quote()[
  A value $a$ is called accumulation point of $D$ if there is a (non-constant) 
  sequence $a_n$ in $D$ which converges to $a$.
] @Vorlesung[1, P. 40]

- Ist dann nicht jeder Punkt (in Mengen mit mehr als einem Element) ein
  Sammelpunkt? Folgen können doch belibig definiert werden?