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Christoph J. Scherr 2024-07-18 16:55:50 +02:00
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commit eab44c7818
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26
src/vorlesungen/1.typ
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@ -10,7 +10,7 @@
+ Ist die Folge von einem bestimmten Typen? + Ist die Folge von einem bestimmten Typen?
- Harmonische Reihe ($1/n$) - Harmonische Reihe ($1/n$)
- Alternierende Reihe ($(-1)^n$) - Alternierende Reihe ($(-1)^n$)
+ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch + Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch
quadratische Ergänzung) quadratische Ergänzung)
+ Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$) + Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$)
+ Gibt es einen Maximalwert? + Gibt es einen Maximalwert?
@ -27,7 +27,7 @@
converge? If it converges, what is the limit? converge? If it converges, what is the limit?
] ]
$ $
a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \ a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \ => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
&= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \ &= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
@ -44,11 +44,7 @@ $
converge? If it converges, what is the limit? converge? If it converges, what is the limit?
] ]
$ $
a_n &= sqrt(n^2+n)-n \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
&= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
&> lim_(n -> infinity) sqrt(n^2)-n = 0 \
lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \ lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
&= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \ &= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \
&= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \ &= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \
@ -70,7 +66,7 @@ $
converge? If it converges, what is the limit? converge? If it converges, what is the limit?
] ]
$ $
a_n &= n!/n^n \ a_n &= n!/n^n \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \ => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \
&= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \ &= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \
@ -103,7 +99,7 @@ $
converge? converge?
] ]
$ $
lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \ lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \
=> "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark => "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark
$ $
@ -120,7 +116,7 @@ $
converge? converge?
] ]
$ $
S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \ S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \
&= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \ &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \
&= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \ &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \
@ -138,7 +134,7 @@ $
converge? converge?
] ]
$ $
S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \ S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \
b_n &= (1)/(n(n+1)) \ b_n &= (1)/(n(n+1)) \
&= (1+(n-n))/(n(n+1)) \ &= (1+(n-n))/(n(n+1)) \
@ -154,7 +150,7 @@ Diese Partialbruchzerlegung hätte ich nicht ohne
@MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund @MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund
ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste
z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$ z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$
und wird nicht direkt eingesetzt. und wird nicht direkt eingesetzt.
Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$. Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$.
@ -170,7 +166,7 @@ Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n
converge? converge?
] ]
$ $
lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \ lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \
&= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \ &= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \
&= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \ &= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \
@ -189,7 +185,7 @@ $
converge? converge?
] ]
$ $
&lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\ &lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
= &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \ = &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
= &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark = &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
@ -206,7 +202,7 @@ $ f^: D --> W\ v |-> w = f(w) $
==== Accumulation Point ==== Accumulation Point
#quote()[ #quote()[
A value $a$ is called accumulation point of $D$ if there is a (non-constant) A value $a$ is called accumulation point of $D$ if there is a (non-constant)
sequence $a_n$ in $D$ which converges to $a$. sequence $a_n$ in $D$ which converges to $a$.
] @Vorlesung[1, P. 40] ] @Vorlesung[1, P. 40]