From eab44c78184596e22bbcec885266017c4797772b Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: PlexSheep <software@cscherr.de>
Date: Thu, 18 Jul 2024 16:55:50 +0200
Subject: [PATCH] remove crap

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 src/vorlesungen/1.typ | 26 +++++++++++---------------
 1 file changed, 11 insertions(+), 15 deletions(-)

diff --git a/src/vorlesungen/1.typ b/src/vorlesungen/1.typ
index f3b1f99..46262a6 100644
--- a/src/vorlesungen/1.typ
+++ b/src/vorlesungen/1.typ
@@ -10,7 +10,7 @@
 + Ist die Folge von einem bestimmten Typen?
   - Harmonische Reihe ($1/n$)
   - Alternierende Reihe ($(-1)^n$)
-+ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch 
++ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch
   quadratische Ergänzung)
 + Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$)
 + Gibt es einen Maximalwert?
@@ -27,7 +27,7 @@
   converge? If it converges, what is the limit?
 ]
 
-$ 
+$
   a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
   => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
   &= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
@@ -44,11 +44,7 @@ $
   converge? If it converges, what is the limit?
 ]
 
-$ 
-  a_n &= sqrt(n^2+n)-n \
-  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
-  &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
-  &> lim_(n -> infinity) sqrt(n^2)-n = 0 \
+$
   lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
   &= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \
   &= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \
@@ -70,7 +66,7 @@ $
   converge? If it converges, what is the limit?
 ]
 
-$ 
+$
   a_n &= n!/n^n \
   => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \
   &= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \
@@ -103,7 +99,7 @@ $
   converge?
 ]
 
-$ 
+$
   lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \
   => "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark
 $
@@ -120,7 +116,7 @@ $
   converge?
 ]
 
-$ 
+$
   S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \
   &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \
   &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \
@@ -138,7 +134,7 @@ $
   converge?
 ]
 
-$ 
+$
   S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \
   b_n &= (1)/(n(n+1)) \
   &= (1+(n-n))/(n(n+1)) \
@@ -154,7 +150,7 @@ Diese Partialbruchzerlegung hätte ich nicht ohne
 @MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund
 ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste
 z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$
-und wird nicht direkt eingesetzt. 
+und wird nicht direkt eingesetzt.
 
 Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$.
 
@@ -170,7 +166,7 @@ Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n
   converge?
 ]
 
-$ 
+$
   lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \
   &= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \
   &= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \
@@ -189,7 +185,7 @@ $
   converge?
 ]
 
-$ 
+$
   &lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
   = &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
   = &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
@@ -206,7 +202,7 @@ $ f^: D --> W\ v |-> w = f(w) $
 ==== Accumulation Point
 
 #quote()[
-  A value $a$ is called accumulation point of $D$ if there is a (non-constant) 
+  A value $a$ is called accumulation point of $D$ if there is a (non-constant)
   sequence $a_n$ in $D$ which converges to $a$.
 ] @Vorlesung[1, P. 40]