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Christoph J. Scherr 2024-07-19 12:28:08 +02:00
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@ -1,6 +1,6 @@
#let title = [ Multivariable Analysis an der DHBW weil ich durchgefallen bin (Scheiße) ]
#let abstract = [
Notizen zu Vorlesungen und Lösungen von Aufgaben bezüglich multivariabler
Notizen zu Vorlesungen und Lösungen von Aufgaben bezüglich multivariabler
Analysis and der DHBW Mannheim.
]

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@ -193,7 +193,7 @@ $
#pagebreak()
=== Funktionen
=== Funktionen, Stetigkeit, Ableitungen
$ f: D --> W\ v |-> w = f(w) $
@ -208,3 +208,63 @@ $ f^: D --> W\ v |-> w = f(w) $
- Ist dann nicht jeder Punkt (in Mengen mit mehr als einem Element) ein
Sammelpunkt? Folgen können doch belibig definiert werden?
==== Uniform Continuity
#quote()[
A function $ f: D --> RR $ is called uniformly continuous on $D$ if $ forall
epsilon exists delta > 0: forall x,y in V : |x-y| < delta -> |f(x) - f(y)| < epsilon $
] @Vorlesung[1, P. 50]
+ Sieht erstmal irgendwie nichtssagend aus.
+ Wir wählen $delta$ und $epsilon$ implizit sehr klein, größere Werte sind möglich aber bringen uns nichts.
+ $=>$ Für jedes $epsilon$ existiert ein $delta$ dass die folgende Bedingung einhält:
Wenn der Unterschied zwischen $x$ und $y$ sehr klein ist, dann ist der Unterschied der
Funktionswerte für $x$ und $y$ auch sehr klein.
+ $=>$ Es ist überall stetig.
#pagebreak()
==== Ex: Ableitung einer Funktion mit nur einer Variablen @Vorlesung[1, P. 59]
#quote()[
Calculate the derivative of
$ f(x) = sin(x) + 1/sin(x) $
]
$
f(x) &= sin(x) + 1/sin(x) = g(x) + h(g(x)) \
g(x) &= sin(x) => g'(x) = cos(x) \
h(x) &= 1/x = x^(-1)=> h'(x) = -x^(-2) \
=> f'(x) &= g'(x) + -g(x)^(-2) dot g'(x) \
&= cos(x) + (-1)/sin(x)^(2) dot cos(x) \
&= [1 - 1/sin(x)^(2) ] dot cos(x) checkmark
$
==== Ex: Ableitung einer Funktion mit nur einer Variablen @Vorlesung[1, P. 61]
#quote()[
Calculate the derivative of
$ f(x) = cos(x)^2 dot cos(x^2) $
]
$
f(x) &= cos(x)^2 dot cos(x^2) = g(h(x)) + h(g(x)) = u(x) dot v(x) \
\
g(x) &= x^2 => g'(x) = 2x \
h(x) &= cos(x) => h'(x) = -sin(x) \
u(x) &= cos(x)^2 = g(h(x)) => u'(x) = g'(h(x)) dot h'(x) = 2cos(x) dot (-sin(x)) \
v(x) &= cos(x^2) = h(g(x)) => v'(x) = h'(g(x)) dot g'(x) = -sin(x^2) dot 2x \
\
=> f'(x) &= u'(x) dot v(x) + u(x) dot v'(x) \
&= 2cos(x) dot (-sin(x)) dot cos(x^2) + cos(x)^2 dot (-sin(x^2)) dot 2x \
&= 2cos(x) [-sin(x) dot cos(x^2) - x dot cos(x) dot (-sin(x^2))] \
$
Die original Lösung behauptet die Lösung wäre $f'(x) = 2cos(x) [sin(x)cos(x^2) +
cos(x)^2sin(x^2)x]$, das ist aber falsch, da die Vorzeichen, die beim Ableiten
vom $cos$ entstehen, fehlen.