moar vorlesung stuff

src/vorlesungen/1.typ

@@ -193,7 +193,7 @@ $
 
 #pagebreak()
 
-=== Funktionen
+=== Funktionen, Stetigkeit, Ableitungen
 
 $ f: D --> W\ v |-> w = f(w) $
 
@@ -208,3 +208,63 @@ $ f^: D --> W\ v |-> w = f(w) $
 
 - Ist dann nicht jeder Punkt (in Mengen mit mehr als einem Element) ein
   Sammelpunkt? Folgen können doch belibig definiert werden?
+
+
+==== Uniform Continuity
+
+#quote()[
+  A function $ f: D --> RR $ is called uniformly continuous on $D$ if $ forall 
+  epsilon exists delta > 0: forall x,y in V : |x-y| < delta -> |f(x) - f(y)| < epsilon $
+] @Vorlesung[1, P. 50]
+
++ Sieht erstmal irgendwie nichtssagend aus.
++ Wir wählen $delta$ und $epsilon$ implizit sehr klein, größere Werte sind möglich aber bringen uns nichts.
++ $=>$ Für jedes $epsilon$ existiert ein $delta$ dass die folgende Bedingung einhält: 
+  Wenn der Unterschied zwischen $x$ und $y$ sehr klein ist, dann ist der Unterschied der 
+  Funktionswerte für $x$ und $y$ auch sehr klein.
++ $=>$ Es ist überall stetig.
+
+
+#pagebreak()
+
+==== Ex: Ableitung einer Funktion mit nur einer Variablen @Vorlesung[1, P. 59]
+
+#quote()[
+  Calculate the derivative of 
+
+  $ f(x) = sin(x) + 1/sin(x) $
+]
+
+$
+  f(x) &= sin(x) + 1/sin(x) = g(x) + h(g(x)) \
+  g(x) &= sin(x) => g'(x) = cos(x) \
+  h(x) &= 1/x = x^(-1)=> h'(x) = -x^(-2) \
+  => f'(x) &= g'(x) + -g(x)^(-2) dot g'(x) \
+  &= cos(x) + (-1)/sin(x)^(2) dot cos(x) \
+  &= [1 - 1/sin(x)^(2) ] dot cos(x) checkmark
+$
+
+==== Ex: Ableitung einer Funktion mit nur einer Variablen @Vorlesung[1, P. 61]
+
+#quote()[
+  Calculate the derivative of 
+
+  $ f(x) = cos(x)^2 dot cos(x^2) $
+]
+
+$
+  f(x) &= cos(x)^2 dot cos(x^2) = g(h(x)) + h(g(x)) = u(x) dot v(x) \
+  \
+  g(x) &= x^2 => g'(x) = 2x \
+  h(x) &= cos(x) => h'(x) = -sin(x) \
+  u(x) &= cos(x)^2 = g(h(x)) => u'(x) = g'(h(x)) dot h'(x) = 2cos(x) dot (-sin(x)) \
+  v(x) &= cos(x^2) = h(g(x)) => v'(x) = h'(g(x)) dot g'(x) = -sin(x^2) dot 2x \
+  \
+  => f'(x) &= u'(x) dot v(x) + u(x) dot v'(x) \
+  &= 2cos(x) dot (-sin(x)) dot cos(x^2) + cos(x)^2 dot (-sin(x^2)) dot 2x \
+  &= 2cos(x) [-sin(x) dot cos(x^2) - x dot cos(x) dot (-sin(x^2))] \
+$
+
+Die original Lösung behauptet die Lösung wäre $f'(x) = 2cos(x) [sin(x)cos(x^2) +
+cos(x)^2sin(x^2)x]$, das ist aber falsch, da die Vorzeichen, die beim Ableiten
+vom $cos$ entstehen, fehlen.