vorlesung durchgeballert

und doofer link weg gemacht

src/main.typ

@@ -38,7 +38,6 @@
 
 #set figure(numbering:"1.1")
 
-
 // Preabmle
 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 

src/vorlesungen/1.typ

@@ -270,9 +270,9 @@ cos(x)^2sin(x^2)x]$, das ist aber falsch, da die Vorzeichen, die beim Ableiten
 vom $cos$ entstehen, fehlen.
 
 
-=== Funktionen, Stetigkeit, Ableitungen
+=== Grenzwerte und Integration
 
-==== Ex: Grenzwert mit l'Hôpital @Vorlesung[1, P. 59]
+==== Ex: Grenzwert mit l'Hôpital @Vorlesung[1, P. 69]
 
 #quote()[
   Derive the limit
@@ -281,8 +281,56 @@ vom $cos$ entstehen, fehlen.
 ]
 
 $
-  L &= lim_(x->infinity) (x^2e^x)/(e^x-1)^2 = lim_(x->infinity) f(x) \
+  L &= lim_(x->infinity) (x^2e^x)/(e^x-1)^2 = lim_(x->infinity) (g(x))/(h(x)) =^! lim_(x->infinity) (g'(x))/(h'(x)) \
-  f(x) &= (x^2e^x)/(e^x-1)^2 = g(x)/h(x) \
+  g(x) &= x^2e^x => g'(x) = (x^2)' dot e^x + x^2 dot e^x = 2 x e^x+x^2e^x = e^x dot (x^2+2x) \
-  g(x) &= x^2e^x => g'(x) = dots \
+  h(x) &= (e^x-1)^2 => h'(x) = 2(e^x-1) dot e^x = 2e^x dot (e^x-1) \
-  h(x) &= (e^x-1)^2 => h'(x) = dots \
+  => L &= lim_(x->infinity) (e^x dot (x^2+2x))/(2e^x dot (e^x-1)) =lim_(x->infinity) (x^2+2x)/(2e^x -2) =lim_(x->infinity) (x^2+x)/(e^x -1) \
+  &= lim_(x->infinity) (x+1)/(e^x-1) = lim_(x->infinity) (1)/(e^x) = 0 checkmark
 $
+
+==== Ex: Integration mit Substitutionsverfahren @Vorlesung[1, P. 76]
+
+#quote()[
+  Calculate the integral
+
+  $ A = integral^(pi/2)_0 cos(x) dot e^(sin(x)) d x $
+
+  using substitution
+]
+
+$
+  A &= integral^(pi/2)_0 cos(x) dot e^(sin(x)) d x = integral^(pi/2)_0 u'(x) dot e(u(x)) d x \
+  u(x) &= sin(x) ; u'(x) = cos(x) ; e(x) = e^x ; e'(x) = e^x \
+  => A &= integral^(u(pi/2))_(u(0)) e(t) d t \
+  &= integral^1_0 e(t) d t = e^1 - e^0 = e-1 checkmark
+$
+
+#pagebreak()
+
+==== Ex: Integration mit partieller Integration @Vorlesung[1, P. 76]
+
+#quote()[
+  Calculate the integral
+
+  $ A = integral x sin(x) d x $
+
+  using partial integration
+]
+
+$
+  A &= integral x sin(x) d x = integral u(x) dot v'(x) \
+  u(x) &= x ; u'(x) = 1 ; v(x) = -cos(x) ; v'(x) = sin(x) \
+  => A &= [u(x) dot v(x)] - integral u'(x) dot v(x) d x \
+  &= x dot (-cos(x)) - integral 1 dot (-cos(x)) d x \
+  &= x dot (-cos(x)) - (-sin(x)) \
+  & = sin(x) - x cos(x) checkmark
+$ <v1-partint>
+
+- Es ist sehr verwirrend für mich, wenn die Integrationsgrenzen fehlen 😕
+
+An dieser Stelle stimmt die Lösung in @Vorlesung leider wieder nicht. Ich habe 
+das Ergebnis wie in <v1-partint> maschinell überprüfen lassen, und es war 
+korrekt. Lauf @Vorlesung wäre das Ergebnis:
+
+$ A = integral x sin(x) d x = x(-cos(x)) - integral sin(x) d x = cos(x)(1-x) 
+" "#emoji.crossmark $