viele krasse sachen zur VL1

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Christoph J. Scherr 2024-07-18 16:39:06 +02:00
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@ -1,24 +1,30 @@
#import "@preview/charged-ieee:0.1.0": ieee
#let title = [ Multivariable Analysis an der DHBW weil ich durchgefallen bin (Scheiße) ]
#let abstract = [
Notizen zu Vorlesungen und Lösungen von Aufgaben bezüglich multivariabler
Analysis and der DHBW Mannheim.
]
#show: ieee.with(
title: [Multivariable Analysis an der DHBW weil ich durchgefallen bin (Scheiße)],
#import "@preview/arkheion:0.1.0": arkheion, arkheion-appendices
#show: arkheion.with(
title: title,
authors: (
(
name: "Christoph J. Scherr",
department: [TINF22CS2 (Cybersecurity at DHBW)],
organization: [NewTec GmbH],
location: [Mannheim, Germany],
email: "contact@cscherr,de"
),
(name: "Christoph J. Scherr", email: "contact@cscherr.de", affiliation: "NewTec GmbH"),
),
index-terms: ("Math", "Undergrad"),
bibliography: bibliography("refs.bib"),
// Insert your abstract after the colon, wrapped in brackets.
// Example: `abstract: [This is my abstract...]`
abstract: abstract,
keywords: ("Undergrad", "Analysis", "Mathmatics"),
date: datetime.today().display(),
)
#set text(lang: "de")
// Justified paragraphs
#set par(justify: true, first-line-indent: 0pt)
#set par(
justify: true,
leading: 0.52em,
)
// more space between pars
#show par: set block(spacing: 2em)
@ -26,10 +32,22 @@
// Put this here to avoid affecting the title
#show link: underline
// Preamble
// headcolor
#let headcolor = rgb("80b3ff")
#set figure(numbering:"1.1")
// Preabmle
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#outline()
#v(8em)
#outline(depth: 3)
#outline(title: "Abbildungen", target: figure)
#pagebreak()
// Content
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
@ -41,17 +59,26 @@ brauchte einfach mehr Zeit. Dieses Dokument wird meine Notizen und Lösungen
zu allen Vorlesungen und Übungen enthalten.
Dieses Dokument bezieht sich vor allem auf Vorlesung#cite(<Vorlesung>) und Übungen#cite(<Exercise>).
Diese sind auf Englisch verfasst, dieses Dokument wird jedoch auf Deutsch sein.
Diese sind auf Englisch
= Methoden
Erstmal machen und gucken dann.
#pagebreak()
= Vorlesungen
#include "./vorlesungen/index.typ"
#pagebreak()
= Übungen
#include "./exercise/index.typ"
// Postabmle
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
#pagebreak()
#bibliography("refs.bib")

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@ -9,3 +9,10 @@
title = "Applied Mathematics - Multivariable analysis (Übungen)",
year = "2024",
}
@online{MatheNichtFreaks,
url = "
https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Teleskopsumme_und_Teleskopreihe
",
urldate = "2024-07-18",
}

214
src/vorlesungen/1.typ Normal file
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@ -0,0 +1,214 @@
== Basics & Outlook @Vorlesung[Foliensatz 1]
- Größtenteils Wiederholung von Analysis
=== Konvergenz von Folgen
#v(2em)
#figure([
+ Ist die Folge von einem bestimmten Typen?
- Harmonische Reihe ($1/n$)
- Alternierende Reihe ($(-1)^n$)
+ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch
quadratische Ergänzung)
+ Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$)
+ Gibt es einen Maximalwert?
+ Ist sie monoton: ($a_(n+1)/a_n <= 1 "oder" >= 1$)
], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Folgen") <alg:folge>
==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 11]
#quote()[
Does the sequence $a_n; n in NN$
$ a_n = ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) $
converge? If it converges, what is the limit?
]
$
a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
&= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
&= 3 / 2 checkmark
$
==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 13]
#quote()[
Does the sequence $a_n; n in NN$
$ a_n = sqrt(n^2+n)-n $
converge? If it converges, what is the limit?
]
$
a_n &= sqrt(n^2+n)-n \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
&= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
&> lim_(n -> infinity) sqrt(n^2)-n = 0 \
lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
&= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \
&= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \
&= lim_(n -> infinity) (n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n) \
&= lim_(n -> infinity) (n)/(sqrt(n^2+n)+n) |:n\
&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/n +1)\
&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/sqrt(n^2) +1)\
&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt((n^2+n)/n^2) +1)\
&= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(1+1/n) +1) = 1/2 checkmark
$
==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 15]
#quote()[
Does the sequence $a_n; n in NN$
$ a_n = n!/n^n $
converge? If it converges, what is the limit?
]
$
a_n &= n!/n^n \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \
&= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \
=> n! &<= n^(n-1) \
=> a_n &<= n^(n-1)/n^n = 1/n --> 0 \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= 0
$
=== Konvergenz von Reihen
#v(2em)
#figure([
+ Addiert die Reihe eine Nullfolge?
+ Ist die Reihe von einem bestimmten Typen?
- Geometrische Reihe
- Teleskop-Reihe
+ Addiert die Reihe eine alternierende Folge?
+ Ratio test (Besonders bei $x!$ und $x^n$)
+ Root test (Besonders bei $x^n$)
], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Reihen") <alg:reihe>
==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 22]
#quote()[
Does the series
$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2n-1)/(3n-1) $
converge?
]
$
lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \
=> "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark
$
#pagebreak()
==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 26]
#quote()[
Does the series
$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) $
converge?
]
$
S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \
&= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \
&= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \
&=> S " ist eine geometrische Reihe!" \
S &= 2 dot 1/(1- 1/3) = 2 dot 1/(2/3) = 2 dot 3/2 = 3 checkmark
$
==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 29]
#quote()[
Does the series
$ S = sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) $
converge?
]
$
S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \
b_n &= (1)/(n(n+1)) \
&= (1+(n-n))/(n(n+1)) \
&= ((1+n)-n)/(n(n+1)) \
&= ((n+1))/(n(n+1)) - (n)/(n(n+1)) \
&= (1)/(n) - (1)/(n+1) \
"mit " a_n = 1/n &: b_n = a_n - a_(n+1) => "Wir können das Teleskopkriterium anwenden" \
(S &= a_0 = 1/1 = 1 checkmark) \
S &= a_1 = 1/1 = 1 checkmark \
$
Diese Partialbruchzerlegung hätte ich nicht ohne
@MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund
ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste
z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$
und wird nicht direkt eingesetzt.
Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$.
#pagebreak()
==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 32]
#quote()[
Does the series
$ S = sum^(infinity)_(n=0) (n)/(2^n) $
converge?
]
$
lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \
&= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \
&= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \
&= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot 1/2 \
&= lim_(n->infinity) abs((n)/n) dot 1/2 \
&= 1/2 checkmark
$
==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 35]
#quote()[
Does the series
$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2^n)/((n+1)^n) $
converge?
]
$
&lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
= &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
= &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
$
=== Funktionen
==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 35]
#quote()[
Does the series
$ S = sum^(infinity)_(n=0) (2^n)/((n+1)^n) $
converge?
]
$
&lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
= &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
= &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
$

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@ -1,20 +1 @@
== Basics & Outlook @Vorlesung[Foliensatz 1]
- Größtenteils Wiederholung von Analysis
=== Ex: Convergence @Vorlesung[P. 11]
#quote(attribution: [@Vorlesung[P. 11]])[
Does the sequence $a_n; n in NN$
$ a_n = ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) $
converge? If it converges, what is the limit?
]
$
a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
=> lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
&= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
&= 3 / 2 checkmark
$
#include "1.typ"