viele krasse sachen zur VL1

src/main.typ

@@ -1,24 +1,30 @@
-#import "@preview/charged-ieee:0.1.0": ieee
+#let title = [ Multivariable Analysis an der DHBW weil ich durchgefallen bin (Scheiße) ]
+#let abstract = [
+  Notizen zu Vorlesungen und Lösungen von Aufgaben bezüglich multivariabler 
+  Analysis and der DHBW Mannheim.
+]
 
-#show: ieee.with(
+#import "@preview/arkheion:0.1.0": arkheion, arkheion-appendices
-  title: [Multivariable Analysis an der DHBW weil ich durchgefallen bin (Scheiße)],
+
+#show: arkheion.with(
+  title: title,
   authors: (
-    (
+    (name: "Christoph J. Scherr", email: "contact@cscherr.de", affiliation: "NewTec GmbH"),
-      name: "Christoph J. Scherr",
-      department: [TINF22CS2 (Cybersecurity at DHBW)],
-      organization: [NewTec GmbH],
-      location: [Mannheim, Germany],
-      email: "contact@cscherr,de"
-    ),
   ),
-  index-terms: ("Math", "Undergrad"),
+  // Insert your abstract after the colon, wrapped in brackets.
-  bibliography: bibliography("refs.bib"),
+  // Example: `abstract: [This is my abstract...]`
+  abstract: abstract,
+  keywords: ("Undergrad", "Analysis", "Mathmatics"),
+  date: datetime.today().display(),
 )
 
 #set text(lang: "de")
 
 // Justified paragraphs
-#set par(justify: true, first-line-indent: 0pt)
+#set par(
+  justify: true,
+  leading: 0.52em,
+)
 
 // more space between pars
 #show par: set block(spacing: 2em)
@@ -26,10 +32,22 @@
 // Put this here to avoid affecting the title
 #show link: underline
 
-// Preamble
+
+// headcolor
+#let headcolor = rgb("80b3ff")
+
+#set figure(numbering:"1.1")
+
+
+// Preabmle
 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
-#outline()
+#v(8em)
+
+#outline(depth: 3)
+#outline(title: "Abbildungen", target: figure)
+
+#pagebreak()
 
 // Content
 ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
@@ -41,17 +59,26 @@ brauchte einfach mehr Zeit. Dieses Dokument wird meine Notizen und Lösungen
 zu allen Vorlesungen und Übungen enthalten.
 
 Dieses Dokument bezieht sich vor allem auf Vorlesung#cite(<Vorlesung>) und Übungen#cite(<Exercise>).
-Diese sind auf Englisch verfasst, dieses Dokument wird jedoch auf Deutsch sein.
+Diese sind auf Englisch
 
 
 = Methoden
 
 Erstmal machen und gucken dann.
 
+#pagebreak()
 = Vorlesungen
 
 #include "./vorlesungen/index.typ"
 
+#pagebreak()
 = Übungen
 
 #include "./exercise/index.typ"
+
+
+// Postabmle
+///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
+#pagebreak()
+
+#bibliography("refs.bib")

src/refs.bib

@@ -9,3 +9,10 @@
     title = "Applied Mathematics - Multivariable analysis (Übungen)",
     year = "2024",
 }
+
+@online{MatheNichtFreaks,
+    url = "
+           https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Teleskopsumme_und_Teleskopreihe
+           ",
+    urldate = "2024-07-18",
+}

src/vorlesungen/1.typ

@@ -0,0 +1,214 @@
+== Basics & Outlook @Vorlesung[Foliensatz 1]
+
+- Größtenteils Wiederholung von Analysis
+
+=== Konvergenz von Folgen
+
+#v(2em)
+
+#figure([
++ Ist die Folge von einem bestimmten Typen?
+  - Harmonische Reihe ($1/n$)
+  - Alternierende Reihe ($(-1)^n$)
++ Hilft die 3. Bionische Formel? ($(a+b)(a-b)$) (heiß´t glaub ich auch 
+  quadratische Ergänzung)
++ Sandwich Theorem ($a_n <= b_n <= c_n => a <= b <= c$)
++ Gibt es einen Maximalwert?
++ Ist sie monoton: ($a_(n+1)/a_n <= 1 "oder" >= 1$)
+], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Folgen") <alg:folge>
+
+==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 11]
+
+#quote()[
+  Does the sequence $a_n; n in NN$
+
+  $ a_n = ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) $
+
+  converge? If it converges, what is the limit?
+]
+
+$ 
+  a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
+  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
+  &= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
+  &= 3 / 2 checkmark
+$
+
+==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 13]
+
+#quote()[
+  Does the sequence $a_n; n in NN$
+
+  $ a_n = sqrt(n^2+n)-n $
+
+  converge? If it converges, what is the limit?
+]
+
+$ 
+  a_n &= sqrt(n^2+n)-n \
+  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
+  &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
+  &> lim_(n -> infinity) sqrt(n^2)-n = 0 \
+  lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) sqrt(n^2+n)-n \
+  &= lim_(n -> infinity) (sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n)/(sqrt(n^2+n)+n) \
+  &= lim_(n -> infinity) ((sqrt(n^2+n)-n) dot (sqrt(n^2+n)+n))/(sqrt(n^2+n)+n) \
+  &= lim_(n -> infinity) (n^2+n-n^2)/(sqrt(n^2+n)+n) \
+  &= lim_(n -> infinity) (n)/(sqrt(n^2+n)+n) |:n\
+  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/n +1)\
+  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(n^2+n)/sqrt(n^2) +1)\
+  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt((n^2+n)/n^2) +1)\
+  &= lim_(n -> infinity) (1)/(sqrt(1+1/n) +1) = 1/2 checkmark
+$
+
+==== Ex: Convergence of Sequences @Vorlesung[1, P. 15]
+
+#quote()[
+  Does the sequence $a_n; n in NN$
+
+  $ a_n = n!/n^n $
+
+  converge? If it converges, what is the limit?
+]
+
+$ 
+  a_n &= n!/n^n \
+  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) n!/n^n \
+  &= ((n-1)(n-2)dots)/n^n \
+  => n! &<=  n^(n-1) \
+  => a_n &<= n^(n-1)/n^n = 1/n --> 0 \
+  => lim_(n -> infinity) a_n &= 0
+$
+
+=== Konvergenz von Reihen
+
+#v(2em)
+
+#figure([
++ Addiert die Reihe eine Nullfolge?
++ Ist die Reihe von einem bestimmten Typen?
+  - Geometrische Reihe
+  - Teleskop-Reihe
++ Addiert die Reihe eine alternierende Folge?
++ Ratio test (Besonders bei $x!$ und $x^n$)
++ Root test (Besonders bei $x^n$)
+], caption: "Algorithmus zum Test auf Konvergenz bei Reihen") <alg:reihe>
+
+==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 22]
+
+#quote()[
+  Does the series
+
+  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2n-1)/(3n-1) $
+
+  converge?
+]
+
+$ 
+  lim_(n -> infinity) (2n-1)/(3n-1) = 2/3 != 0 \
+  => "Die Reihe konvergiert nicht, weil " (2n-1)/(3n-1) " keine Nullfolge ist." checkmark
+$
+
+#pagebreak()
+
+==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 26]
+
+#quote()[
+  Does the series
+
+  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) $
+
+  converge?
+]
+
+$ 
+  S &= sum^(infinity)_(n=0) (2)/(3^n) \
+  &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1)/(3^n) \
+  &= 2 dot sum^(infinity)_(n=0) (1/3)^n ; 1/3 > 1 \
+  &=> S " ist eine geometrische Reihe!" \
+  S &= 2 dot 1/(1- 1/3) = 2 dot 1/(2/3) = 2 dot 3/2 = 3 checkmark
+$
+
+==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 29]
+
+#quote()[
+  Does the series
+
+  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) $
+
+  converge?
+]
+
+$ 
+  S &= sum^(infinity)_(n=0) (1)/(n(n+1)) \
+  b_n &= (1)/(n(n+1)) \
+  &= (1+(n-n))/(n(n+1)) \
+  &= ((1+n)-n)/(n(n+1)) \
+  &= ((n+1))/(n(n+1)) - (n)/(n(n+1)) \
+  &= (1)/(n) - (1)/(n+1) \
+  "mit " a_n = 1/n &: b_n = a_n - a_(n+1) => "Wir können das Teleskopkriterium anwenden" \
+  (S &= a_0 = 1/1 = 1 checkmark) \
+  S &= a_1 = 1/1 = 1 checkmark \
+$
+
+Diese Partialbruchzerlegung hätte ich nicht ohne
+@MatheNichtFreaks[Partialbruchzerlegung] gefunden. Aus irgendeinem Grund
+ist $a_0 = 1/1$ in der Vorlesung@Vorlesung, anstatt $1/0$. Demnach müsste
+z.B. $a_1=1/2$ sein. Das $n$ in $a_n$ indiziert also eine Zahl aus $NN$
+und wird nicht direkt eingesetzt. 
+
+Ich finde das ist inkonsistent, deshalb verwende ich $a_1 => n=1$, und $a_0 => n=0$.
+
+#pagebreak()
+
+==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 32]
+
+#quote()[
+  Does the series
+
+  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (n)/(2^n) $
+
+  converge?
+]
+
+$ 
+  lim_(n->infinity) abs((a_(n+1)/a_n)) &= lim_(n->infinity) abs(((n+1)/(2^(n+1)))/(n/(2^n))) \
+  &= lim_(n->infinity) abs(((n+1) dot 2^n)/(n dot 2^(n+1))) \
+  &= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot abs((2^n)/(2^(n+1))) \
+  &= lim_(n->infinity) abs(((n+1))/n) dot 1/2 \
+  &= lim_(n->infinity) abs((n)/n) dot 1/2 \
+  &= 1/2 checkmark
+$
+
+==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 35]
+
+#quote()[
+  Does the series
+
+  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2^n)/((n+1)^n) $
+
+  converge?
+]
+
+$ 
+  &lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
+  = &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
+  = &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
+$
+
+=== Funktionen
+
+==== Ex: Convergence of Serieses @Vorlesung[1, P. 35]
+
+#quote()[
+  Does the series
+
+  $ S = sum^(infinity)_(n=0) (2^n)/((n+1)^n) $
+
+  converge?
+]
+
+$ 
+  &lim_(n->infinity) root(n, abs((2^n)/((n+1)^n))) "(Wurzelkriterium)"\
+  = &lim_(n->infinity) root(n, abs(((2)/((n+1)))^n)) \
+  = &lim_(n->infinity) (2)/((n+1)) = 0 < 1 => "S ist konvergent" checkmark
+$

src/vorlesungen/index.typ

@@ -1,20 +1 @@
-== Basics & Outlook @Vorlesung[Foliensatz 1]
+#include "1.typ"
-
-- Größtenteils Wiederholung von Analysis
-
-=== Ex: Convergence @Vorlesung[P. 11]
-
-#quote(attribution: [@Vorlesung[P. 11]])[
-  Does the sequence $a_n; n in NN$
-
-  $ a_n = ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) $
-
-  converge? If it converges, what is the limit?
-]
-
-$ 
-  a_n &= ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3)) \
-  => lim_(n -> infinity) a_n &= lim_(n -> infinity) ((n+1)^2 + 3 dot n(n^2 -1)) / (2 dot (n+2)^3) \
-  &= lim_(n -> infinity) (3 n^3) / (2n^3) \
-  &= 3 / 2 checkmark
-$